内 容 提 要

本书讨论数值线性代数的三大分支：线性代数方程组的

解法；线性最小二乘法和矩阵特征值问题.内容包括：基础

理论；线性代数方程组的直接解法；线性代数方程组的迭代

解法；正交化和最小二乘法；非对称特征值问题和对称特征值

问题等.对所讨论的方法除了注意它们的算法实施外，对其

收敛性及计算过程的稳定性也有较详尽的论述.

本书可作为计算数学及其应用软件专业的教材，也可供

理工科其他专业的师生、计算数学工作者或其他利用计算机

从事科学与工程计算的科技人员参考.

目 录

第一章 基础理论

1有限维空间的范数

1.1向量范数

1.2矩阵范数

1.3诱导矩阵范数

2基本变换矩阵

2.1初等矩阵

2.2H0useholder变换

2.3Givens变换

3矩阵的因子分解

3.1满秩分解

3.2QR分解

3.3Schur分解

3.4奇异值分解

3.5正交投影和C－S分解

4浮点舍入误差分析

习 题

第二章 线性代数方程组的直接解法

1Gauss消去法和三角分解

1.1Gauss消去法

1.2三角分解

1.3选主元

1.4对称正定组

2误差分析

2.1线性代数方程组的性态

2.2Gauss消去法的舍入误差分析

3迭代改善和解的精度估计

习 题

第三章 线性代数方程组的迭代解法

1基本概念和性质

1.1逐次逼近法

1.2不可约矩阵和对角占优矩阵

2基本迭代方法

2.1Jacobi迭代和Gauss－Seidel迭代

2.2逐次超松弛（SOR）迭代

3SOR迭代的收敛理论

3.1相容次序和性质A

3.2最优松弛因子

4共轭梯度法

4.1共轭梯度（CG）算法的导出

4.2共轭梯度（CG）算法的性质

习 题

第四章 正交化和线性最小二乘法

1线性最小二乘问题

1.1问题的引入

1.2解的存在性、唯一性

2广义逆矩阵

2.1定义和表示

2.2基本性质

2.3投影AA＋和A＋A

3线性最小二乘问题的性态

4正交化方法

5秩亏损情况

5.1带列交换的QR分解

5.2奇异值分解

习 题

第五章 非对称特征值问题

1基本性质

1.1特征值的界限

1.2扰动和敏感性

2乘幂法

2.1算法和收敛性分析

2.2收缩技巧

3反迭代和Rayleigh商迭代

3.1反迭代

3.2Rayleigh商迭代（RQI）

4QR方法

4.1基本算法及收敛性

4.2带原点位移的QR算法

4.3实矩阵的双重步QR算法

5广义特征值问题——QZ方法

5.1约化到中间矩阵

5.2QZ算法

5.3双重步QZ算法

习 题

第六章 对称特征值问题

1基本性质

1.1特征值和特征向量的估计

1.2极值定理

1.3Raylcigh商

2Jacobi方法

2.1经典Jacobi方法

2.2循环Jacobi方法及其变形

3子空间迭代法

3.1算法

3.2收敛性分析

4Givens方法

4.1三对角化

4.2特征值的计算

4.3特征向量的计算

5对称QR方法

5.1隐位移QR算法

5.2计算奇异值分解

6Lanczos方法

6.1算法

6.2收敛性分析

7对称广义特征值问题

7.1约化到对称特征值问题

7.2行列式查找法

习 题