内容提要

本书系统地介绍了抽象代数最基本的内容，其中包括群论、环论与

域论。在域论这一章中还比较全面地介绍了有限Galois理论。书中配

备了一定数量、难易不一的习题，习题均有解答或提示。

本书可供综合性大学、师范大学数学系学生阅读，也可供理科各系

以及通讯工程的大学生、研究生及教师参考。

目 录

第一章 预备知识

1.1集合

1.2Cartesian积

1.3等价关系与商集

1.4映射

1.5二元运算

1.6偏序与Zorn引理

第二章 群 论

2.1群的概念

2.2子群及傍集

2.3正规子群与商群

2.4同态与同构

2.5循环群

2.6置换群

2.7群对集合的作用

2.8Sylow定理

2.9群的直积

2.10有限生成Abel群

2.11正规群列与可解群

2.12低阶有限群

第三章 环 论

3.1基本概念

3.2子环、理想与商环

3.3环的同态

3.4整环、分式域

3.5唯一分解环

3.6PID与欧氏整区

3.7域上的一元多项式环

3.8交换环上的多项式环

第四章 域与Galois理论

4.1域的扩张

4.2代数扩域

4.3尺规作图问题

4.4分裂域

4.5可分扩域

4.6正规扩域

4.7Galois扩域与Galois对应

4.8有限域

4.9分圆域

4.10一元方程式的根式求解

4.11正规基定理

4.12域的超越扩张

附 录 习题简答

抽象代数是数学的一门重要分支.众所周知,初等代数研究的是数集上的运算,高等代数把数集扩展为向量空间.矩阵集和多项式集.抽象代数则以一般集合上的运算作为研究对象..
历史上,抽象代数起源于纯粹理性的思考.19世纪30年代法国天才的青年数学家Galois在研究困惑了人类几百年的用根式求解五次方程问题时,发现了群.Galois不仅彻底地解决了一元”次方程用根式求解是否可能的问题,而且更重要的是他使人们认识到,除了熟知的数外,在其他集合(如置换集)上也可能存在着代数结构,即满足一定规则的运算.Galois虽然只活了21岁,但是他的发现为数学开辟了一个崭新的研究领域.随着19世纪末Cantor集合论的建立,各种代数结构被定义在一般的集合上,抽象代数的奠基工作完成了.
20世纪是抽象代数学蓬勃发展的世纪.Lie群.Lie代数的出现使几何学和代数学再次结成了亲密的伙伴,也给抽象代数带来了强大的发展动力.拓扑学因为有了抽象代数而得到了突飞猛进的发展,群.环.模成了研究拓扑空间性质的基本工具,代数拓扑成了20世纪最引人注目的数学分支之一,而从代数拓扑学产生的同调代数为代数学宝库增添丁强有力的工具.数论.代数几何由于抽象代数概念的导入彻底地改变了面貌.代数学从与其他数学分支的结合中获得了前所未有的生命力,新概念不断出现,新的代数学分支不断生长.数学这棵古老的常青树从来没有像现在这样枝繁叶茂,生机勃勃.
通常人们认为抽象代数很抽象,似乎离现实很远,没有多少用处.其实这是一种误解.一切科学的抽象不是对现实的背离,而是对现实世界更深刻的反映.科学研究的对象扩大了,它的应用也就更广泛了,代数学也是如此.抽象代数不仅是现代数学不可缺少的组成部分,也是现代物理学.化学.计算机科学.通讯科学不可缺少的工具.举例来说,有限域理论是抽象代数中相当“抽象”的理论,但是数字通讯中的编码理论(特别是纠错码)却是以它为基础的.因此当我们舒适地聆听CD唱片或是欣赏VCD(DVD)数码音像节目时,请记住其中也凝聚着数学家们的辛劳.今天,有志于在现代数学.现代物理学.计算机科学等领域作出贡献的年轻人,都应该懂得抽象代数的知识,在人类这一知识宝库中吸取营养,寻求自己的发展...
本书原是编者为复旦大学数学系学生编写的教材,它适用于已修完高等代数的本科生.本书内容按所讨论的代数结构分为4个部分.第一章为预备知识.第二章讨论群,在详细介绍了群.子群.正规子群.商群.同态和同构等基本概念的基础上,着重介绍了循坏群.置换群,介绍了有限群的几个基本定理,如Sylow定理等.利用群的直积可以把复杂的群分解为比较简单的群,有限生成Abel群基本定理就是这一思想的体现,这个定理在代数拓扑学中有重要的应用,我们作了详细的介绍.群列和可解群是为第四章Galois理论作准备的.第三章介绍环论.环论,主要是交换环理论,它是代数几何与代数数论的基础.我们除了介绍环.理想.商环.同态与同构外,还着重介绍了整环及其分式域.唯一分解环和多项式环.第四章讨论域和Galois理论.我们首先介绍了各种域扩张及其性质,然后介绍了Galois对应和Galois理论基本定理,这是Galois理论的核心.运用域的扩张理论和Galois基本定理,我们给出了一元”次方程可用根式求解的充分必要条件.我们还讨论了初等几何中尺规作图的可能性问题,如证明了用圆规和直尺不可能将一个任意角三等分,给出了正y2边形可用圆规和直尺作图的充分必要条件.这些美妙的应用是Galois理论的辉煌篇章,读者从中可以充分领略到数学的美.本教程的内容通常分两学期授完,第一学期(每周3节课)讲完群论和环论两章,第二学,期(作为选修)讲完第四章.目录中带*的内容可作为选修.
本书力求深入浅出,对抽象的概念尽量用较多的例子加以说明.为了帮助读者理解抽象代数习题的解题思路,本书附有书内习题的简答或提示.虽然本书是在编者多年从事教学的基础上编成的,但不当之处仍然难免,敬请读者和同行专家批评指正....
编者
2005年6月于复旦大学