内容简介
本书结合物理与几何的背景，以Lax可积为主线，系统论述孤子系统的共同性质，其中包括等谱流与非等谱流，无穷守恒律与Hamilton结构等，全面介绍近年发展起来的求非线性波动方程多孤子解的方法，如双线性导数法，Backlund变换，反散射变换与Wronski行列式技术。利用强加在拟微分算子的约束初步揭示高维与低维孤子系统的内在联系，并引出约束系统的谱问题。本书内容翔实，论述简明，推理严谨，范例丰富，便于读者阅读。
本书可作为大学数学系、物理系的研究生和高年级本科生学习非线性科学的教材，也为有关的科技工作者提供了一本实用的参考书。 本书目录
第1章 流体与几何中的孤子方程
1.1 弱非线性作用下的浅水波方程
1.2 曲面论中的非线性波动方程
习题一
第2章 双线性导数法
2.1 双线性导数的性质
2.2 KdV方程的n孤子解及物理意义
2.3 修正KdV方程的n孤子解
2.4 其它非线性波动方程的n孤子解
习题二
第3章 Lax可积与孤子方程族
3.1 Lax可积的概念
3.2 KdV与修正KdV方程族
3.3 AKNS方程族及其约化
习题三
第4章 矩阵线性问题的规范变换
4.1 规范变换的概念
4.2 规范变换的构成
4.3 JM与AKNS方程族的简单关系
4.4 KN与AKNS方程族的等价性
4.5 Heisenberg与AKNS方程族的等价性
习题四
第5章 Backlund变换与多孤子解
5.1 KdV方程族的Backlund变换
5.2 AKNS方程族的Backlund变换
5.3 sine-Gordon方程的Backlund变换
习题五
第6章 低维反散射变换
6.1 KdV方程族的正散射问题
6.2 KdV方程族的反散射问题
6.3 AKNS方程族的正散射问题
6.4 AKNS方程族的反散射问题
6.5 Toda链方程族的正散射问题
6.6 Toda链方程族的反散射问题
习题六
第7章 孤子系统的Hamilton结构
7.1 无穷守恒律
7.2 有限维Hamilton系统
7.3 无穷维Hamilton系统
7.4 约束泛函导数与广义Hamilton方程
7.5 离散Hamilton系统
习题七
第8章 拟微分算子的约束
8.1 KP方程族
8.2 修正KP方程族
8.3 联系于KP系统的拟微分算子之约束
8.4 联系于修正KP系统的拟微分算子之约束
习题八
第9章 KP方程的反散射变换
9.1 线n孤子解的Wronski行列式表示
9.2 KPI方程的正散射问题
9.3 KPI方程的反散射问题
9.4 KPII方程的反散射问题
习题九
参考文献
索引
***
《大学数学科学丛书》已出版书目

第1章 流体与几何中的孤子方程
1.1 弱非线性作用下的浅水波方程
1.1.1 流体在刚床中流动的定解问题
1.1.2 浅水波与KdV方程
1.1.3 曲面波与KP方程
1.2 曲面论中的非线性波动方程
1.2.1 微分形式的外微分
1.2.2 曲面的基本方程
1.2.3 负常曲率曲面与sine-Gordon方程
习题
第2章 双线性导数法
2.1 双线性导数的性质
2.2 KdV方程的n孤子解及物理意义
2.2.1 n孤子解
2.2.2 孤子解的行列式表示
2.2.3 n孤子解相互作用的弹性散射性质
2.3 修正KdV方程的n孤子解
2.3.1 双孤子解
2.3.2 n孤子解
2.4 其它非线性波动方程的n孤子解
2.4.1 sine-Gordon方程的n孤子解
2.4.2 非线性Schrodinger方程的n孤子解
2.4.3 散焦非线性Schrodinger方程的n孤子解
2.4.4 Toda链的多孤子解
2.4.5 KP方程的线n孤子解
习题二
第3章 Lax可积与孤子方程旅
3.1 Lax可积的概念
3.2 KdV与修正KdV方程族
3.2.1 KdV方程族
3.2.2 修正KdV方程族
3.2.3 Miura变换
3.3 AKNS方程族及其约化
3.3.1 AKNS方程族
3.3.2 约化为KdV与修正KdV方程族
3.3.3 约化为非线性Schrodinger方程族
3.3.4 约化为sine-Gordon方程族
习题三
第4章 矩阵线性问题的规范变换
4.1 规范变换的概念
4.2 规范变换的构成
4.2.1 不依赖于谱参数的规范变换
4.2.2 例
4.3 JM与AKNS方程族的简单关系
4.3.1 JM方程族
4.3.2 转换算子及其性质
4.3.3 方程族的简单关系
4.4 KN与AKNS方程族的等价性
4.4.1 KN方程族
4.4.2 转换算子及其性质
4.4.3 方程族的等价性
4.5 Heisenberg与AKNS方程族的等价性
4.5.1 Heisenberg方程族
4.5.2 转换算子及其性质
4.5.3 方程族的等价性
习题四
第5章 Backlund变换与多孤子解
第6章 低维反散射变换
第7章 孤子系统的Hamilton结构
第8章 拟微分算子的结束
第9章 KP方程的反散射变换
参考文献
索引
《大学数学科学丛书》已出版书目

282孤子的发现应追溯到1834年的夏日,1英国科学家J.0S.0Russel骑马正沿着一条运河岸道旅行,1偶然发现在狭窄的河床中行走的船突然停止前进,1被船体带动的水团积聚在船头周围并剧烈地翻动着.0不久,1一个圆形且轮廓分明的巨大孤立波峰开始形成,1并急速离开船头向前运动.0波长约10米,1高约0.05米,1在行进中波的形状和速度并无明显变化,1以后高度逐渐下降.0在跟踪二至三公里后,1终于消失在蜿蜒的河道上.0这次发现的奇特景观促使Russel开始广泛的水波实验研究.0他认为这类波应是流体运动的一个稳定解,1并称它为孤波.0但他始终未能从理论上证实孤波的存在.0结果导致Russel向英国皇家科学院提交的报告引起当时物理学界的激烈争论.0直到1895年,1荷兰著名数学家Korteweg和他的学生decVries在对孤波进行全面分析后指出这种波可近似为小振幅的长波,1并以此建立了浅水波运动方程.0.1a1c1ac111c111a1a1
283时间跨越了70年,2转眼之间来到1965年,2美国数学家Kruskal和Zabusky利用先进的计算机通过数值计算详细研究了KdV方程两波相互作用的全过程.1他们对作用前后所得的数据进行对比,2发现孤波的形状和速度保持不变而具有弹性散射的性质,2所以Kruskal和Zabusky又将这种稳定的孤波称为孤子.1从此一个研究非线性发展方程与孤子的热潮在学术界蓬勃地开展起来.12a2c2ac222c222a2a2
284随着研究的深入,3大批具有孤子解的非线性波动方程在物理的各领域不断被揭示出,3其中包括等离子体中的非线性Schrodinger方程.c振子运动的Toda链与二维流体流动的KP方程等.2研究的结果表明,3这些方程具有共同的性质.2例如它们都存在Lax对与无穷守恒律,3都存在等谱流与非等谱流,3且相关的等谱方程族构成无穷维Hamilton系统等.2此外在这一时期求解技术也取得长足的发展.2除反散射变换外还产生出Hirota双线性导数方法,3Backlund变换与Wronskian技术.2现在孤子已经形成了自己独特的理论和研究方法,3并且几乎在自然科学的各领域中寻觅到它应用的踪迹.23a3c3ac333c333a3a3
285本书作为新世纪研究生教材将以Lax对为主线,4系统讲述孤子系统的共同性质,4全面介绍近年发展起来的寻求非线性波动方程多孤子解的各种方法,c利用强加在拟微分算子的约束揭示经典孤子系统的内在联系,4为使研究生能接近孤子领域的前沿,4本书还包括作者近年来在这一领域上潜心研究的成果.3..4a4c4ac444c444a4a4
286全书共分九章,5第1章说明KdV.cKP方程与sine-Gordon方程的力学与几何背景.4第2章通过一些经典的非线性波动方程介绍求多孤子解的双线性导数直接法,5并对n孤子相互作用的弹性散射性质给出严格的数学解释,5第3章引入孤子方程的线性谱问题及时间发展式(Lax对),5从其相容性条件导出等谱或非等谱的KdV方程族,5修正KdV方程族与AKNS方程族,5研究这些方程族的相互关系.45a5c5ac555c555a5a5
287第4章利用谱问题存在的规范变换及联系不同位势间的广义Miura变换,6讨论JM系统.cKN系统.cHeisenberg系统与AKNS系统方程的等价性.5第5章讲述KdV系统与AKNS系统的Darboux变换及相关的Bhcklund变换.5证明KdV方程与sine-Gordon方程其它形式的Backlund变换等价于双线性导数形式的B'acklund变换.5由此给出这两个方程n孤子解的Wronski行列式表示.5第6章介绍KdV系统.cAKNS系统与Toda链的正散射问题与反散射问题,6并将位势的恢复归结为求解GLM积分方程.5第7章借助逆辛算子的概念建立无穷维实Hamilton系统与Liouville可积的理论.5根据所给出的判断准则验证KdV系统.c修正KdV系统.cAKNS系统与离散Toda链系统的Hamilton结构,6第8章是从拟微分算子的Lax方程出发构造KP系统与修正KP系统的方程族.a通过强加于拟微分算子上的约束生成低维的约束系统.5后者包括经典的AKNS系统.c带导数的Schrodinger系统和新的3×3可积系统.5第9章研究KP系统的Backlund变换及线孤子解的Wronski行列式.5利用Green函数与α定理求解KPI方程与KPII方程正散射问题与反散射问题.56a6c6ac666c666a6a6
288在编写过程中,7作者与博士张大军.c邓淑芳逐章逐节详细讨论,7并对所列公式进行了认真复算.6张大军还将复算的资料整理存档,7邓淑芳将文稿输入电脑并绘制图形.6因此本书的完成是与他们辛勤劳动不可分的.6书中部分章节在孤子理论讨论班上使用时,7盛万成教授.c王远弟副教授.c博士后夏铁成.c博士生张翼.c宁同科.c孙业朋.c毕金钵.c孙梅娜.c姚玉芹.c刘玉清.c季杰.c硕士生刘金.c杜丛民.c陈哲云.c石教云.c吕丽丽.c郝宏海.c尹付梅.c陈鹏.c王广胜等提出许多建设性的意见,7这些意见作者在定稿时已加以采纳利用.6在此衷心感谢上海市教委和上海大学科研处以及研究生部对本书的资助.6感谢科学出版社吕虹编审对本书的出版所给予的大力帮助.67a7c7ac777c777a7a7
289孤子理论涉及学科广泛,8研究课题十分丰富而作者的水平有限,8谬误与疏漏之处实属难免,8恳请读者批评指正.7...8a8c8ac888c888a8a8
2810陈登远9a9c9ac999c999a9a9
28112004年3月10日于上海大学10a10c10ac101010c101010a10a10

陈登远，男，1938年10月生，四川成都人，1959年毕业于云南大学数学系，1988年任中国科技大学数学教授，1989年在德国巴特波恩大学数学系任高级访问学者，1991年任上海科技大学数学系教授，现任上学大学理学院教授、博士生导师，1991年至1995年为国家教委高等学校数学与力学教学指导委员会成员，长期从事孤子理论的教学与研究，在线笥谱问题的规范变换、非线性发展方程的等价类、Lax可积系统的流与对称的代数结构、高维系统的约化、新多孤子解等研究领域有系统工作，其中“孤立子与非线性演化方程”获1986年中国科学院科技进步二等奖；“非线性发展方程的转换算子及等价类”获安徽省1985-1986年度优秀学术论文一等奖。