内容简介

本书全面系统地阐述了时－频分析的理论与应用。全书共分19章，主要内容有：时间分析、频率分析、尺

度分析、时间－带宽关系；瞬时频率；密度和局部量；短－时傅里叶变换；时－频分析；魏格纳分布；时－频表

示；计算方法；综合问题；空间/空间－频率表示；时间尺度表示；算子；一般联合表示；随机信号和高阶时－频

分布。每一个概念都有举例说明，而且还给出了这些方法如何推广到其它的变量，如尺度等。

本书的最大特点是：语言表达精炼，概念清晰易懂，理论与应用紧密相结合，是反映当今时－频分析这门

涉及许多领域的新兴学科发展与研究水平的一部难得的佳作。

本书是作者为工作在声学、声纳、雷达、图象处理、生物医学和通信领域中的工程师、声学家、医学家，研究

人员、数学家和物理学家而精心撰写的。当然，也可作为工作在上述各领域中的其它有关人员学习参考。

目录

第1章 信号的时间和频率描述

1.1 引言

1.2 信号的时间描述

1.3 信号的频率描述

1.4 简单的计算诀窍

1.5 带宽方程

1.6 AM和FM对带宽的影响

1.7 用频谱表示的持续时间和平均时间

1.8 信号的协方差

1.9 时间和频率密度的傅里叶变换

1.10 频谱特性的非相加性

1.11 信号的分类

第2章 瞬时频率和复信号

2.1 引言

2.2 使用复信号的理由

2.3 解析信号

2.4 计算解析信号

2.5 解析信号的物理解释

2.6 正交近似

2.7 瞬时频率

2.8 瞬时频率密度

第3章 不确定原理

3.1 引言

3.2 不确定原理

3.3 不确定原理的证明

3.4 短－时傅里叶变换的不确定原理

第4章 密度和特征函数

4.1 引言

4.2 一维密度

4.3 一维特征函数

4.4 二维密度

4.5 局部量

4.6 局部平均值和整体平均值之间的关系

4.7 一个新变量的分布

4.8 负密度

第5章 时－频分析的必要性

5.1 引言

5.2 简单的解析例子

5.3 实际信号

5.4 频谱为什么变化

第6章 时－频分布：基本思想

6.1 引言

6.2 整体平均值

6.3 局部平均值

6.4 时间和频率位移不变性

6.5 线性尺度变换

6.6 弱和强有限支持

6.7 不确定原理

6.8 不确定原理和联合分布

6.9 不确定原理和条件标准偏差

6.10 基本问题和简要的历史观点

第7章 短－时傅里叶变换

7.1 引言

7.2 短－时傅里叶变换和频谱图

7.3 一般特性

7.4 整体量

7.5 局部平均值

7.6 变窄和加宽窗

7.7 群延迟

7.8 几个例子

7.9 反变换

7.10 瞬时频率的展开

7.11 最佳窗

第8章 魏格纳分布

8.1 引言

8.2 魏格纳分布

8.3 一般特性

8.4 整体平均值

8.5 局部平均值

8.6 几个例子

8.7 两个信号和的魏格纳分布

8.8 补充特性

8.9 准魏格纳分布

8.10 修正的魏格纳分布和正值性

8.11 魏格纳分布与频谱图的比较

第9章 一般方法和核方法

9.1 引言

9.2 一般类

9.3 核方法

9.4 与核有关的基本特性

9.5 整体平均值

9.6 局部平均值

9.7 分布之间的变换

第10章 特征函数算子方法

10.1 引言

10.2 特征函数方法

10.3 特征函数值的计算

10.4 一般类

10.5 平均值

10.6 矩方法

第11章 降低干扰的核设计

11.1 引言

11.2 降低干扰的分布

11.3 乘积核的设计

11.4 射影到凸集上

11.5 巴拉纽克－琼斯最佳核设计

第12章 几种分布

12.1 引言

12.2 乔伊－威廉斯方法

12.3 赵－阿特拉斯－马克斯分布

12.4 玻恩－约尔丹分布

12.5 复能量频谱

12.6 执行频谱

第13章 进一步的研究

13.1 引言

13.2 瞬时带宽

13.3 多分量信号

13.4 空间/空间－频率分布

13.5 FM信号的δ函数分布

13.6 伽波尔表示和时－频分布

13.7 频谱图的展开

13.8 用其它分布表示的频谱图

13.9 分布的奇异值分解

13.10 综合

13.11 随机信号

13.12 数值计算

13.13 信号分析和量子力学

第14章 满足边缘的正分布

14.1 引言

14.2 正分布

14.3 路林、皮顿和阿特拉斯的方法

第15章 信号的表示

15.1 引言

15.2 信号的正交展开

15.3 算子代数

15.4 平均值

15.5 任意变量的不确定原理

第16章 单变量的密度

16.1 引言

16.2 单变量的密度

16.3 平均值

16.4 带宽

16.5 任意开始量的表示

第17章 任意变量的联合表示

17.1 引言

17.2 边缘

17.3 特征函数算子方法

17.4 值的计算方法

17.5 任意变量的一般类

17.6 分布之间的变换

17.7 局部自相关

17.8 瞬时值

17.9 任意变量对的局部值

17.10 协方差

17.11 短－时傅里叶变换的推广

17.12 么正变换

17.13 反比频率

17.14 附录

第18章 尺度

18.1 引言

18.2 尺度算子和压缩算子

18.3 尺度特征函数

18.4 尺度变换

18.5 具有高尺度含量的信号

18.6 尺度特征函数

18.7 平均尺度和带宽

18.8 瞬时尺度

18.9 尺度的不确定原理

18.10 频率和其它尺度变换

18.11 附录

第19章 联合尺度表示

19.1 引言

19.2 联合时间－尺度表示

19.3 时间－尺度分布的一般类

19.4 联合频率－尺度表示

19.5 时间、频率和尺度的联合表示

19.6 附录

参考文献目录

索引

第1章

信号的时间和频率描述

1.1 引言

在这一章，我们将根据权威性论述的观点研究信号的时间和频率分析的基本思想，这些论

述已经为联合时－频描述的需要播下了种子和动力。信号分析是对信号基本性质的研究和表

征，事实上，在历史上就已经发现了许多基本信号，如电场，声波和电流。信号通常是一个多变

量函数。例如，电场在空间和时间上的变化。我们主要强调的是时间的变化，尽管所研究的思

想很容易扩展到空间和其它的变量，但在本书的以后部分我们还是强调时间的变化。

信号的时间变化是基本的，因为时间是基础。然而，如果我们想要深入地理解信号，那么

研究信号的不同表示是有用的。从数学的观点来看，通过在函数的完备集中展开信号，就可以

实现信号的不同表示，而且可以有无数种情况。一种特别表示的重要性就在于：用那种表示可

以更好地理解信号的特征，因为这种表示是由实际上或者为对眼前情况重要的物理量来表示

其特性的。除了时间之外，最重要的表示是频率。频率表示的数学方法是由傅里叶（Fourier）

发明的，他的主要动力是要寻找支配热性能的方程。傅里叶的贡献是历史上的重大事件，因为

他的确找到了支配热传导与扩散的基本方程，而且他还发明了处理不连续性（1807年）的卓越

的数学方法。他必须处理不连续性，因为这是关于热传导与扩散的最基本的问题之一，即，当

热和冷的物体连接在一起时，温度的不连续性就会产生。傅里叶的思想是：不连续函数能够表

示为连续函数之和。结果证明，傅里叶的这个思想是数学和科学［1］中的伟大发明之一，但从

表面现象来看，就连那个时代的一些伟大的科学家，包括拉普拉斯（Laplace）和拉格朗日

（Lagrange），都毫不犹豫而直言不讳地指出：那是一种荒谬的思想。但是，频谱分析作为迄今

所发现的最有力的科学方法之一的根据还是应归功于本生（Bunsen）和基尔霍夫（Kirchhoff）两

人的贡献，时间大约在傅里叶提出他的思想（1807年）之后60年，也就是在1830年他死后的

35年。频谱分析的发现比傅里叶时代任何人的预见都重要得多，它是随着分光仪［2］的发明而

产生的。根据这个发现：我们通过分析光谱就能够确定物质的性质；不同原子和分子的特征也

可通过它们发射的光的频谱来鉴别。这就是现代频谱分析的应用。本生和基尔霍夫（大约在

1865年）观察到，光谱可以用来对物质进行识别、检测和分类，因为它们对每一种物质都是唯

一的。

这种思想随同其延伸到其它的波形，以及需要频谱分解的工具的发明，无疑被列为人类历

史上最重要的发明之一。肯定有理由可以证明，分光仪及其变种仪器是迄今所发明的最重要

的科学工具。频谱分析导致了自然界基本定律的发现，而且使我们能够了解地球上和远离地

球以外以兆光年计的星球上的物质的构成和性质。从这个意义上讲，把频谱分析称作本生－

基尔霍夫分析是恰当的。

1.2 信号的时间描述

基本物理量，如电磁场、压力和电压，随着时间而变化，这就是时间波形，即信号。我们用

s（t）来表示信号，在原理上，信号可以有任何函数形式，而且能够产生非常丰富而复杂的信号，

如声波。幸亏，简单信号是存在的，因此有必要首先研究和表征这些信号，以便在着手处理更

复杂信号之前建立起基本的理解。

最简单的随时间变化的信号是正弦波。它是许多基本方程的一种解，如麦克斯韦

（Maxwell）方程，事实上是一般解。正弦波的特点是具有恒定幅度a和固定频率w0，即

s（t）＝acosw0t （1.1）

我们说，这样的一个信号具有恒定幅度，并不意味着这个信号具有恒定值，但其振荡的最大值

和最小值是恒定的。频率w0具有清晰的物理解释，即每单位时间内的振荡次数或者起伏次



数。

人们希望推广正弦波的简单性，把一般信号能够写成形式为

s（t）＝a（t）cosθ（t） （1.2）

这里，幅度a（t）和相位θ（t）都是任意的时间函数。为了强调它们随时间的一般变化，经常使

用幅度调制和相位调制这两个术语，因为调制这个词意味着变化。

许多困难随之而产生，自然现象并没有为我们按照幅度和相位划分信号。自然现象只给

了我们左边部分s（t）。即使信号可以由人通过具有特定幅度和相位函数的方程（1.2）来产

生，但特定的a（t）和θ（t）并不特殊，因为产生同样的信号可供选择的不同的幅度和相位对有

无数种情况。难道一对就是特殊的吗？