内容提要

本书是非线性科学丛书中的一种，概要介绍了分形物理的

理论及其最新进展。全书计分7章，内容包括分形几何的基本概

念，自旋系统的相变，临界动力学，分形上的动力学，多重分形及

分形生长。本书可供大学物理系、数学系教师、研究生和高年级

学生阅读，也可供自然科学和工程技术领域中的研究人员参考。

本书由陶瑞宝、文志英审阅。

目录

非线性科学丛书出版说明

前言

第1章 分形的几何特征

1 扩展对称性

2 分形维数

3 规则分形

4 描述分形几何的其他参数

5 非均匀规则分形

6 无规分形

7 测定分形维数的方法

8 自仿射分形

第2章 分形上自旋系统的相变（I）

9 连续相变的基本知识

10 科赫曲线上伊辛模型的相变

11 重整化群方法

12 准线性晶格上自旋模型的相变·重整化群方法

13 塞尔宾斯基铺垫上的自旋统计模型

14 伊辛模型的严格配分函数和关联函数

15 塞尔宾斯基铺垫上渗流相变

16 塞尔宾斯基铺垫上的电导

第8章 分形上自旋系统的相变（Ⅱ）

7 梅格达尔－卡丹诺夫键移重整化群方法

8 塞尔宾斯基地毯上伊辛模型的相变

9 塞尔宾斯基地毯上的电阻网络

20 相变的普适性

21 金刚石型等级晶格上伊辛模型的相变

22 反铁磁箔茨模型的相变

23 金刚石型等级晶格上的反铁磁相变

24 键稀释箔茨模型

第4章 临界动力学

25 临界动力学的基本概念

26 一维平移对称晶格上动力伊辛模型的严格解

27 动力学实空间重整化群理论

28 TDRG应用于－维动力伊辛模型

29 科赫曲线上动力伊辛模型的临界动力学

30 塞尔宾斯基铺垫上动力伊辛模型

31 在TDRG中的键移近似

32 规则DLA集团上的动力伊辛模型

33 动力学重整化群方法的分析

第5章 分形上的动力学

34 渗流集团上的反常扩散

35 扩散的谱密度·格林函数方法

36 动力学标度理论

37 分形晶格振动的谱结构

38 分形上薛定谔方程的解

39 弹性分形的临界指数和谱维数

第6章 多重分形

40 基本概念

41 重标变换群

42 分形测度及其奇异性·理论框架

43 精确可解的康托集

44 动力系统

45 渗流集团上的电阻网络

46 DLA生长概率测度·调和测度

47 生长结构的几何多重分形性

48 多重分形的热力学形式

49 杨－李零点·朱莉亚集和它们的奇异谱

第7章 分形生长

50 生长模型的基本概念

51 生长模型与静模型

52 生长模型的标度行为

53 扩散置限聚集（DLA）模型

54 介电击穿模型（DBM ）

55 DLA聚集的实验实现

56 DLA生长的理论处理

57 集团－集团聚集

58 集团－集团聚集的计算机模拟

59 平均场理论·斯莫洛可夫斯基方程

60 生长花样

科学家中外译名对照表

参考文献

前面谈到的挖去萨个小正方形的方式可任意地规定，但一经

规定，就应在整个各级构造过

程中始终如一，不可随意更改。

图3－4（i）、（ii）分别是两种不

同的挖去小正方块的方法，一

种为集中挖去中心附近的小正

方块，另一种则分散地挖去。

4 描述分形几何的其他参数

本节介绍描述分形几何的其他参数［1］，［4］。这里只选取几个今

后讨论问题所最必需的，而不是所有的参数。此外，我们介绍这些

参数将不拘泥于数学的严格性，而是采用物理学工作者最易接受

的方式。

1.拓扑维数DT

拓扑维数是用递推的方法来定义的：DT＝D’T十1，这里D’T是

“切割集”的拓扑维数。一个集合的“切割集”是指将晶格分割为两

个互相分离的部分的点集。空集的DT＝－1。有限集和康托集的

DT＝0（因为不需要去掉任何东西（空集）就能使它们不相连）。所

有前面提到的科赫曲线，二维欧氏空间的塞尔宾斯基铺垫和塞尔

宾斯基地毯以及圆周等相连集，都可通过移掉有限个点而使它们

分离成独立的两部分，因而按上面的递推关系，所有这些集合的拓

扑维数均为DT＝D’T十1＝1。 实际上，我们还可从另一方面来证

明它们的拓扑维数为1。由于DT为整数且DT≤dj（分形维数），

而dj均小于2，意味着DT只能是1或0，但这些集合均为相连的，

因而DT不能小于1，唯一的解便是DT＝1。

DT＝1是标准曲线的特征。因而，上面提到的集合（晶格）从

拓扑观点看是曲线。

2。分岔度（theorderoframificati0n）

在一点p的分岔度R，定义为：［1］，［4］为了分离出连接点p的任

意有界点集所必须切断的重要的相互作用的数目，也即包含最少

数目的点的切割集。

一种分形上的不同点的分岔度R可能不同。可以证明，R的

最大值与最小值遵守下列关系：

Rmax≥2Rmin－2

对科赫曲线，其端点R＝1，分岔度最低，上式显然成立，这是平庸

情况。即使不算端点，上式也成立。如Rmax＝Rmin，曲线称为均匀

的。显然，必须使R＝2或R＝∞，才能满足上述等式。具有R＝2

的曲线叫无分支的。而当Rmax＝2Rmin－2时，曲线称为准均匀

的。分支科赫曲线是准线性的，但不是均匀的，因为有些点而不是

所有点R＝2，在曲线分岔处R＞2。

对塞尔宾斯基铺垫，晶格的分岔度Rmax＝2d，Rmin＝d十1，它

们分别是晶格格点和非晶格格点的分岔度。前者很易理解，后者

则应考虑三角形的无穷系列（在d＝2情况下），第n级结构所含的

三角形都嵌置于第n—1级的“前辈”三角形中，它通过三个切点外

切于前一级的三角形，因而分岔度Rmin＝d十1＝3。由于满足

Rmax＝2Rmin－2，因而塞尔宾斯基是均匀的。