目录

非线性科学丛书出版说明

前言

第1章 引论

1动力学系统

2符号动力学

3实用符号动力学

4关于符号动力学的文献

第2章 单峰映射的符号动力学

5单峰映射的符号序列

6揉序列和允字条件

6.1允字条件

6.2中介字的生成和超稳揉序列表

7二次方映射

7.1由二次方映射产生揉序列表

7.2确定参数的方法

7.3映射的分支图

7.4周期系的数目

8乘积和广义合成律

8.1乘积

8.2广义合成律

8.3粗粒混沌

8.4周期3的符号分析

8.5非普适收敛率

9人字映射、锯齿映射和λ展开

9.1人字映射和锯齿映射

9.2子区间映射及其转移矩阵

9.3映射的拓扑熵

9.4符号序列的语法复杂性

10拓扑熵的周期展开

第8章 一维多临界点映射

11反对称立方映射

11.1允字条件

11.2超稳揉序列表的生成

11.3对称破缺和恢复

12裂峰映射

12.1揉平面

12.2偶奇型触点

12.3揉平面的自相似结构

12.4拓扑混沌判据

13罗伦兹型映射

14一般立方型映射

14.1揉平面中的骨架、骨干和关节

14.2揉平面的生成

14.3双降立方型映射

15正弦平方映射

15.1符号序列和字提升

15.2揉序列和允字条件

15.3揉平面中的关节点和骨架图

16一般的多临界点映射

16.1分段线性映射和揉行列式

第4章 圆映射的符号动力学

17圆映射概述

18连分数和法瑞地址

19法瑞变换和良序符号序列

20提升为非单调的圆映射

21圆映射的揉平面

22分段线性圆映射和拓扑熵

第5章 二维映射符号动力学

23特尔映射

23.1正、逆映射和正、逆符号序列

23.2相空间的动力学分叶及排序

23.3符号平面中的允许区和禁区

23.4允字条件

23.5小结

24罗西映射

24.1相空间动力学分叶和排序

24.2符号平面中的允许区和禁区

24.3允字条件的应用举例

25依依映射

25.1相空间割线的确定

25.2依依映射的符号动力学

25.3典型映射例的分析

第6章 对微分方程的应用

26周期驱动的布鲁塞尔振子

27罗伦兹模型与立方映射符号动力学

附录A 允许的符号序列对应于真实轨道

附录B 广义合成樟的证明

附录C 有理数的连分式表示和法瑞表示

索引

科学家中外译名对照表

参考文献

这里所用的“相空间”一词，与理论力学中的习惯用法可能稍

有不同。力学系统的相空间是由广义坐标和广义动量支撑起来的，

因而总是偶数维空间。而且，首先用于描述不含耗散的保守系统

的运动，保守的力学系统遵从刘维定理，相空间体积在演化过程中

保持不变。含有耗散的系统，初始的相空间体积会不断缩小，最终

可能成为维数远低于原来相空间的某种“吸引子”。耗散起着自然

的简化作用，使许多低维的动力学系统能够很好地模拟高维的实

际系统。此外，动力学系统中的状态变量不一定与坐标或动量对

应；独立的状态变量数目也不必为偶数。我们以后将在这种较为

自由的意义下混用“状态空间”和“相空间”两个名词。

系统的状态通常还受到若干控制参数制约。这些参数构成参

数空间。在不同的参数范围或参数空间的不同区域里，系统状态

的时间变化过程即代表点在状态空间中的运动轨道，可能有本质

上的不同。例如，对于一定参数范围运动是周期的，即轨道封闭，

周而复始，而在另一参数区则有混沌运动。

描述某种物理系统状态变量如何变化的数学模型，构成一个

动力学系统。通常，它含有若干控制参数。我们举几个例子。

一、把太阳、地球和月亮作为质点，描述其运动的力学方程

组，是一个动力学系统。这是能量守恒的保守系统，不直接属于本

书的研究范围。

二、在没有世代交迭的简化假定下，描述某种昆虫数目变化

的“虫口”方程或抛物线映射［1］

三、另一大类有广泛应用的一维映射 是从圆周到圆周的映

射，简称圆映射。这时，可将线段I的两个端点等同起来，构成一

个封闭的圆周。通常把圆周的长度取为1。圆映射的一般形式如

xn＋1＝xn十A＋Bg（xn），（mod1）（1.2）

这里A和B是参数，模运算（mod1）的意思是舍去结果的整数部

分，只保留其不足1的部分；g（x）则是周期为1的非线性函数：

g（x十1）＝g（x）.

相空间为圆周的符号动力学具有一些新的特点，我们将在第4章

里专门讨论。

四、描述地表大气热对流问题的偏微分方程组，经过大幅度

简化之后，导致如下的含三个变量的常微分方程组［3］

x＝σ（y－x），

y＝rx－xz－y，（1.3）

z＝xy－bz，

称为罗伦兹（E.N.Lorenz）模型。这里变量x、y、z支起三维的相

空间，三个参数σ、b和r通常固定两个。例如取σ＝10，b＝8/3，而

只变化对应于雷诺数的r。在r从1变到350的范围内可以观察到

大量的周期解和混沌轨道。罗伦兹在r＝28处看到的非周期轨道，

曾是奇怪吸引子的最早实例之一。

方程（1.3）的右端没有显含时间，是一种自治的常微分方程

组。另一个可以用符号动力学作研究的自治方程组是描述神经元

活动的罗斯－欣德马司（R.M.Rose－J.L.Hindmarsh）模型［4］

x＝y－ax＋bx＋I－z，

y＝l－ex－y，

z＝r（s（x一f）－z）.