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数学分析的主要内容是微积分,这是人类在科学中最伟大的创造之一.微积分研究的对象是连续量.本教程提供给读者的是一个连续量的演算体系及其数学理论.过去读者在中小学学的算术与代数的演算大都只涉及离散量,本教程将提供一套崭新的演算----连续量的演算.一个连续量对另一个连续量 的连续依赖,其基本问题之一是"瞬时"变化率,或一个连续量对另一个连续量的变化"速率”，这就引导到微商的概念.变化率要"瞬时",这是连续量的特征之一.变化率为什么要"瞬时",其根本原因是,这样就能"机械化"地进行演算了.另一个基本问题是连续变化的积累,或连续作用的总和.这就引导到积分的概念.牛顿与莱布尼茨在创立微积分时的重大贡献之一是发现求这种连续量作用的积累或总和,是求变化率运算的逆运算,从而建立了一套连续量的"机械化"的演算体系.这一切最重要的体现是建立微分方程与解微分方程.实 数本质上是(一维〉连续量的数学模型.本教程上册讲的一元函数微积分实际上是初等函数微积分.为了把它推广到非初等函数,人们才需要无穷级数与含参变量积分这样的工具,同时为了解决多个连续量之间的依赖关系问题,才需要发展到多元微积分.后面这两部分(无穷级数与多元微积分)便构成了本教程下册的主要内容.极限是对上述所有概念形式化统一处理的工具.用极限可以把上述概念精确化和统一处理,使理论简明统一.因此,极限的概念与运算将贯穿全书.但应提醒读者注意,一方面不要因为极限贯穿全书便用它掩盖了数学分析研究连续量演算体系的本质；另一方面,对极限的掌握也是通过对微积分各项内容的研究而逐步加深的.这是一个循序渐进的过程,读者不必希望“一蹴而就”。 历史上,微积分运算体系形成在先,用极限与实数理论给运算体系建立严格的数学基础在后.如何处理这两者的关系,一直是数学分析教材体系的中心问题.过去,说得极端一些,大体有两种讲法.一种是把整个教材分成两部分：初等微积分与高等微积分.在讲初等微积分时,主要讲微积分的运算与应用，在讲高等微积分时才讲严格的理论.另一种讲法是先把实数、极限、连续等都 讲述清楚,然后再把微积分、级数等看成不同类型的极限.由于前面讲授极限的篇幅很大,因此通常把后面这种讲法称作"大头分析".这两种体系各有优缺点,且曾经分别在不同时期在我国流行过.本教程的编写,是希望在上述"初高等微积分”与“大头分析”两种讲法之间，走出一条真正的循序渐进之路，而整个体系又是逻辑上完整的.为此,本书把实数连续性放在一个基本的位置,根据戴