本书基本上是根据全国工科院校高等数学教学基本要求编写的，也是编者多年来在清华大学从事高等数学的教学和辅导工作的结晶。 全书分上、下两册，下册包括多元函数及其微分法、重积分、曲线积分和曲面积分、级数、常微分方程共5章内容。每章的各节以“内容提要”开始，概括本节的主要知识内容；然后是“例题分析”，通过分析、讲解、提问、小结等方式对各种题型的例题进行解剖、辅导；每章的末尾，安排“习题与答案”，供读者练习、检查。 本书可作为工科大学生、自学高等数学者学习时的辅导教材，也可供从事工科高等数学教学的教师、非数学专业的研究生及中学数学教师参考。

第8章 多元函数及其微分法
8. 1 函数. 极限. 连续. 偏导数
8. 1. 1 内容提要
1 函数的定义
2 二元函数的极限定义
3 二元函数的连续定义
4
元连续函数的性质
5 偏导数的定义 以二元函数为例
6 高阶偏导数
8. 1. 2 例题分析
1 函数概念中的一些问题. 函数的符号运算
2 函数的定义域
3 有关二元函数极限中的一些问题
4 有关偏导数中的一些问题
5 求偏导数
8. 2 全微分及其在近似计算中的应用,
8. 2. 1 内容提要
1 全增量的定义
2 全微分的定义
3 可微的定义. 近似计算公式
4 方向导数的定义
5 方向导数的计算公式
8. 2. 2 例题分析
1 偏导数与全微分的关系
2 求全微分
3 全微分在近似计算中的应用
4 方向导数
8. 3 多元函数的微分法
8. 3. 1 内容提要
1 复合函数的微分法
2 隐函数的微分法
8. 3. 2 例题分析
1 由具体函数所构成的复合函数的微分法
2 由抽象函数所构成的复合函数的微分法
3 既有具体函数又有抽象函数所构成的复合函数的微分法
4 抽象函数的二阶偏导数
5 隐函数的微分法
8. 4 曲面的切平面. 空间曲线的切线
8. 4. 1 内容提要
1 曲面的切平面
2 空间曲线的切线
8. 4. 2 例题分析
1 空间曲线的切线与法平面方程
2 曲面的切平面与法线
8. 5 极值
8. 5. 1 内容提要
1 极值定义
2 函数／极值点的必要条件
3 极值点的充分条件
4 条件极值
8. 5. 2 例题分析
1 有关极值概念中的一些问题
2 极值与最值
3 具有一个约束条件的条件极值问题
4 具有两个约束条件的条件极值问题
8. 6 综合题. 杂题
8. 7 习题与答案
8. 7. 1 习题
8. 7. 2 答案
第9章 重积分
9. 1
重积分
9. 1. 1 内容提要
1 二重积分定义
2 二重积分性质
3 二重积分的计算方法--累次积分法
4
重积分的几何意义
9. 1. 2 例题分析
1 直角坐标中化二重积分为累次积分
2 极坐标中化二重积分为累次积分
3 二重积分的计算
4 积分区域的对称性及被积函数的奇偶性的利用
5 被积函数中绝对值的处理
6 二重积分的几何应用
7 二重积分中等式或不等式的证明
8 综合题
9. 2 三重积分
9. 2. 1 内容提要
1 定义
2 计算方法
3 几何意义
9. 2. 2 例题分析
1 在直角坐标下的定限及计算
2 在直角坐标系中交换积分次序
3 在柱面坐标. 球面坐标中的计算
4 积分区域对称性及被积函数奇偶性的利用
5 几何应用
6 证明题. 综合题
9. 3 重积分的物理应用
9. 3. 1 内容提要
1 质量
2 静力矩和质心
3 转动惯量
4 引力
9. 3. 2 例题分析
1 静力矩和质心
2 转动惯量
3 引力
9. 4 习题与答案
9. 4. 1 习题
9. 4. 2 答案
第10章 曲线积分和曲面积分
10. 1 曲线积分
10. 1. 1 内容提要
1 对弧长的曲线积分 第一型曲线积分
2 对坐标的曲线积分 第二型曲线积分
3 两类曲线积分之间的关系
10. 1. 2 例题分析
1 对弧长的曲线积分
2 对坐标的曲线积分
10. 2 格林公式. 积分与路径无关的充要条件
10. 2. 1 内容提要
1 格林公式
2 曲线积分与路径无关的等价条件
10. 2. 2 例题分析
1 L是简单封闭曲线的情况
2 L不是封闭曲线的情况
3 积分与路径无关
4 复连域的情况
5 综合题
10. 3 曲面积分
10. 3. 1 内容提要
1 对曲面面积的曲面积分 第一型曲面积分
2 对坐标的曲面积分 第二型曲面积分
3 两类曲面积分的关系
10. 3. 2 例题分析
1 对面积的曲面积分
2 对坐标的曲面积分
10. 4 高斯公式. 斯托克斯公式及它们的应用
10. 4. 1 内容提要
1 高斯公式
2 斯托克斯公式
3 空间曲线积分与路径无关的条件
10. 4. 2 例题分析
1 高斯公式及其应用
2 斯托克斯公式及其应用
10. 5 场论初步
10. 5. 1 内容提要
1 梯度
2 通量和散度
3 环流量和旋度
4 有势场和势函数
10. 5. 2 例题分析
1 方向导数和梯度
2 通量与散度
3 环流量与旋度
10. 6 习题与答案
10. 6. 1 习题
10. 6. 2 答案
第11章 级数
11. 1 数项级数的基本概念
11. 1. 1 内容提要
1 无穷级数概念
2 部分和概念, 收敛. 发散概念
3 级数收敛的必要条件
4 级数的基本性质
11. 1. 2 例题分析
1 利用级数的收敛性定义判断级数的收敛性
2 利用级数的性质判断级数的收敛性
11. 2 同号级数收敛性的判别法
11. 2. 1 内容提要
1 定义
2 定理
3 正项级数收敛性的判别法
11. 2. 2 例题分析
1 利用比较法及其极限形式判断级数收敛性
2 利用达朗贝尔判别法. 柯西判别法及柯西积分判别法判敛
3 证明题. 杂题
11. 3 交错级数与任意项级数
11. 3. 1 内容提要
1 定义
2 绝对收敛与条件收敛
3 莱布尼兹判别法
11. 3. 2 例题分析
1 交错级数收敛. 条件收敛与绝对收敛
2 综合题. 杂题
11. 4 函数项级数的一般概念
11. 4. 1 内容提要
1 定义
2 一致收敛概念
3 和函数的解析性质
11. 4. 2 例题分析
1 求函数项级数的收敛域
2 判别函数项级数的一致收敛性
11. 5 幂级数的收敛半径. 收敛域及和函数
11. 5. 1 内容提要
1 定义
2 阿贝尔定理
3 收敛区间
4 幂级数的运算性质
11. 5. 2 例题分析
1 求幂级数的收敛域
2 求幂级数的和函数
11. 6 函数的幂级数展开式. 幂级数的应用
11. 6. 1 内容提要
1 定义
2 性质
3 几个重要函数的麦克劳林级数
11. 6. 2 例题分析
1 将函数展开成幂级数
2 幂级数在近似计算中的应用
3 综合题. 杂题
11. 7 傅里叶级数
11. 7. 1 内容提要
1 定义
2 收敛定理--狄利克雷充分条件
11. 7. 2 例题分析
1 将f x 在[-]上展成傅里叶级数
2 将f x 在[0, ]上展成正弦级数与余弦级数
3 将f x 在[o, l]上层成傅里叶级数
11. 8 习题与答案
11. 8. 1 习题
11. 8. 2 答案
第12章 常微分方程
12. 1 基本概念
12. 1. 1 内容提要
1 常微分方程和偏微分方程
2 解和隐式解
3 通解 通积分 和特解
4 积分曲线和积分曲线族
12. 1. 2 例题分析
12. 2 一阶微分方程及初等解法
12. 2. 1 内容提要
1 存在性及惟一性定理
2 可以用初等解法求解的一阶微分方程
12. 2. 2 例题分析
1 类型 1 ～ 5 的一阶方程求解
2 做适当变换求解一阶方程
3 一阶线性微分方程的解的定性理论
4 一阶微分方程的物理. 几何应用
5 综合题. 杂题
12. 3 高阶微分方程
12. 3. 1 内容提要
1 存在性和惟一性定理
2 3种最简单的高阶方程类型
3 二阶线性方程的存在性和惟一性定理
4 二阶线性齐次方程的通解结构
5 二阶线性非齐次方程的通解结构
6 n阶线性方程的一般理论
12. 3. 2 例题分析
1 利用降阶法求解高阶微分方程
2 高阶方程的物理应用
3 如何求解二阶线性变系数微分方程
4 二阶线性微分方程解的定性理论
5 有关函数组的朗斯基行列式
6 综合题. 杂题
12. 4 常系数线性方程 组
12. 4. 1 内容提要
1 一般形式
2 二阶常系数线性齐次方程
3 二阶常系数线性非齐次方程
4 欧拉方程
5 常系数线性微分方程组
12. 4. 2 例题分析
1 如何求常系数线性齐次方程的通解
2 如何求常系数线性非齐次方程的通解和特解
3 如何利用特征根反求微分方程
4 二阶常系数线性微分方程的物理应用
5 如何求解欧拉方程
6 如何求解微分方程组
7 综合题. 杂题
12. 5 习题与答案
12. 5. 1 习题
12. 5. 2 答案
自我检查题及解答
自我检查题 3
自我检查题 3 解答
自我检查题 4
自我检查题 4 解答